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2011-06-06: Collatz-Vermutung bewiesen?

Nur selten schaffen es aktuelle Forschungsergebnisse aus der Mathematik in die Hauptnachrichten. Diesmal war es wieder der Fall: Der Spiegel berichtet über einen Beweis eines Hamburger Mathematikers.


Das Problem ist grundschultauglich: Man nehme eine beliebige Zahl. Wenn sie gerade ist, dividiere man sie durch 2. Ist sie ungerade, dann multipliziere man sie mit 3 und addiere 1.

Beispiel: Wir fangen mit der 7 an. Die ist ungerade - man kann nicht durch 2 dividieren. Also rechnen wir: 7*3+1=22. Die 22 ist die zweite Zahl unserer Folge. 22 ist gerade, also wird durch 2 dividiert: 22:2=11. 11 ist wieder ungerade, daher müssen wir multiplizieren: 11*3+1=34. Wir erhalten eine Zahlenfolge:
7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Ist man einmal bei der 1 angekommen, so kommt man immer wieder dahin: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

Lothar Collatz nannte Mitte des vergangenen Jahrhunderts die Vermutung: Egal, mit welcher Zahl man beginnt, man landet zum Schluss immer wieder bei der 1. Für einzelne Zahlen kann man das mehr oder weniger schnell überprüfen - manchmal ist die Folge ziemlich lang, manchmal auch ganz kurz. Mit Computerhilfe hat man Zahlen bis zu unvorstellbarer Größe untersucht - es stimmte immer. Aber gibt es nicht vielleicht doch irgendwann eine Zahl, jenseits alles Vorstellbaren, bei der das nicht mehr klappt? Wir wussten es nicht - bisher.

Nun hat der Hamburger Mathematiker Gerhard Opfer im Mai 2011 einen Beitrag veröffentlicht, in dem er die Vermutung beweist. Noch wurde das Skript nicht überprüft, und Mathematiker sind vorsichtige Leute. Aber wenn die Überprüfung die Korrektheit des Beweises bestätigt, ist das für die Mathematik eine kleine Sensation. Um die 34 Seiten des Skripts zu verstehen, muss man allerdings ziemlich gut auf mehreren Gebieten der Mathematik bewandert sein.

Gerhard Opfer hat für die Lösung des Problems nur wenige Monate gebraucht. Das ist ein unglaublich kurzer Zeitraum, verglichen mit anderen großen Beweisen der letzten Jahrzehnte.

Die Collatz-Vermutung ist wahrscheinlich jedem mathematisch Interessierten irgendwann mal über den Weg gelaufen. Sie war ein schönes Beispiel, wie einfach Probleme sein können, die noch immer ihrer Lösung harren. Aber auch, wenn sie jetzt bewiesen sein sollte - es gibt noch genug offene Fragen im Reich der Mathematik.

Update (15. 06. 2011): Inzwischen gibt es Zweifel am Beweis Gerhard Opfers. Opfer bestätigte die Lücke und will seinen Beweis überarbeiten.


© R. Sontag, H. Geisler, 15.06.2011